与えられた関数を微分する問題です。問題20の(1)から(10)までを解きます。 (1) $y = e^{3x}$ (2) $y = xe^x$ (3) $y = e^x \cos x$ (4) $y = e^x \tan x$ (5) $y = e^{2x} \sin 3x$ (6) $y = e^{2x} \tan 3x$ (7) $y = \frac{e^x}{x^2}$ (8) $y = \frac{x}{e^x}$ (9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$ (10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。問題20の(1)から(10)までを解きます。

(1) $y = e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

(3) $y = e^x \cos x$

(4) $y = e^x \tan x$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}}$

2. 解き方の手順

(1) $y = e^{3x}$

合成関数の微分法を用いる。

$y' = 3e^{3x}$

(2) $y = xe^x$

積の微分法を用いる。

$y' = (x)'e^x + x(e^x)' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

(3) $y = e^x \cos x$

積の微分法を用いる。

$y' = (e^x)'\cos x + e^x(\cos x)' = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $y = e^x \tan x$

積の微分法を用いる。

$y' = (e^x)' \tan x + e^x (\tan x)' = e^x \tan x + e^x \frac{1}{\cos^2 x} = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y = e^{2x} \sin 3x$

積の微分法を用いる。

$y' = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x} (\sin 3x)' = 2e^{2x} \sin 3x + 3e^{2x} \cos 3x = e^{2x} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x)$

(6) $y = e^{2x} \tan 3x$

積の微分法を用いる。

$y' = (e^{2x})' \tan 3x + e^{2x} (\tan 3x)' = 2e^{2x} \tan 3x + e^{2x} \frac{3}{\cos^2 3x} = e^{2x} (2 \tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $y = \frac{e^x}{x^2}$

商の微分法を用いる。

$y' = \frac{(e^x)'x^2 - e^x (x^2)'}{(x^2)^2} = \frac{e^x x^2 - 2xe^x}{x^4} = \frac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \frac{e^x (x-2)}{x^3}$

(8) $y = \frac{x}{e^x}$

商の微分法を用いる。

$y' = \frac{(x)'e^x - x(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{e^x - xe^x}{e^{2x}} = \frac{e^x(1-x)}{e^{2x}} = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{e^x}} = e^{-\frac{x}{3}}$

合成関数の微分法を用いる。

$y' = -\frac{1}{3} e^{-\frac{x}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y = \frac{x}{\sqrt{e^x}} = \frac{x}{e^{\frac{x}{2}}} = xe^{-\frac{x}{2}}$

積の微分法を用いる。

$y' = (x)'e^{-\frac{x}{2}} + x (e^{-\frac{x}{2}})' = e^{-\frac{x}{2}} - \frac{1}{2}xe^{-\frac{x}{2}} = e^{-\frac{x}{2}} (1 - \frac{x}{2}) = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3e^{3x}$

(2) $y' = (x+1)e^x$

(3) $y' = e^x(\cos x - \sin x)$

(4) $y' = e^x (\tan x + \frac{1}{\cos^2 x})$

(5) $y' = e^{2x} (2 \sin 3x + 3 \cos 3x)$

(6) $y' = e^{2x} (2 \tan 3x + \frac{3}{\cos^2 3x})$

(7) $y' = \frac{e^x (x-2)}{x^3}$

(8) $y' = \frac{1-x}{e^x}$

(9) $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{e^x}}$

(10) $y' = \frac{2-x}{2\sqrt{e^x}}$