与えられた関数 $z$ を $x$ と $y$ で偏微分する問題です。具体的には、以下の関数について $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める必要があります。 (a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$ (b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$ (c) $z = \log(xy)$ (d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$ (e) $z = \tan(\frac{x}{y})$

1. 問題の内容

与えられた関数 $z$ を $x$ と $y$ で偏微分する問題です。具体的には、以下の関数について $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ を求める必要があります。

(a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

(b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$

(c) $z = \log(xy)$

(d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$

(e) $z = \tan(\frac{x}{y})$

2. 解き方の手順

(a) $z = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する際、$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する際、$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 6xy - 3y^2$

(b) $z = (xy^2 + x^2y)^2$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する際、$y$ は定数として扱います。

まず、合成関数の微分を用いて、

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy^2 + x^2y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy^2 + x^2y) = 2(xy^2 + x^2y) \cdot (y^2 + 2xy) = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する際、$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(xy^2 + x^2y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy^2 + x^2y) = 2(xy^2 + x^2y) \cdot (2xy + x^2) = 2(xy^2 + x^2y)(2xy + x^2)$

(c) $z = \log(xy)$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する際、$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(xy) = \frac{1}{xy} \cdot y = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する際、$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{xy} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(xy) = \frac{1}{xy} \cdot x = \frac{1}{y}$

(d) $z = \cos(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する際、$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(-x^3y^2 + y) = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot (-3x^2y^2) = 3x^2y^2\sin(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する際、$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(-x^3y^2 + y) = -\sin(-x^3y^2 + y) \cdot (-2x^3y + 1) = (2x^3y - 1)\sin(-x^3y^2 + y)$

(e) $z = \tan(\frac{x}{y})$

$\frac{\partial z}{\partial x}$ を計算する際、$y$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{y})} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{y}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{y})} \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{y\cos^2(\frac{x}{y})}$

$\frac{\partial z}{\partial y}$ を計算する際、$x$ は定数として扱います。

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{y})} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(\frac{x}{y}) = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{y})} \cdot (-\frac{x}{y^2}) = -\frac{x}{y^2\cos^2(\frac{x}{y})}$

3. 最終的な答え

(a)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2 - 6xy + 3y^2$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -3x^2 + 6xy - 3y^2$

(b)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 2(xy^2 + x^2y)(y^2 + 2xy)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2(xy^2 + x^2y)(2xy + x^2)$

(c)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{y}$

(d)

$\frac{\partial z}{\partial x} = 3x^2y^2\sin(-x^3y^2 + y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = (2x^3y - 1)\sin(-x^3y^2 + y)$

(e)

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{y\cos^2(\frac{x}{y})}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y^2\cos^2(\frac{x}{y})}$