(a) 質量2.0 kgの小球がバネ定数 $k=6$ N/mのバネに取り付けられ、$x$方向に振動している。自然長の位置を$x=0$とするとき、$t=0$に$x=\sqrt{3}$ mを速度$-3$ m/sで通過した。一般解 $x(t) = a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t)$ の形で表し、運動方程式と初期条件を満たす$a$, $b$, $\omega$ を求め、 $x(t) = A \cos(\omega t + \delta)$ ($A>0, \pi \ge \delta \ge 0$)の形に変形し、単振動の振幅$A$, 周期$T$, 初期位相$\delta$を求め、速さの最大値を求めよ。 (b) 図1のグラフから、質量2.0 kgの小球の振動中心点を読み取り、位置$x$を$t$の関数として表し、速度$v$と小球にかかる力$f$を$t$の関数として求めよ。ただし、円周率は$\pi$とする。

1. 問題の内容

(a) 質量2.0 kgの小球がバネ定数 $k=6$ N/mのバネに取り付けられ、$x$方向に振動している。自然長の位置を$x=0$とするとき、$t=0$に$x=\sqrt{3}$ mを速度$-3$ m/sで通過した。一般解 $x(t) = a \cos(\omega t) + b \sin(\omega t)$ の形で表し、運動方程式と初期条件を満たす$a$, $b$, $\omega$ を求め、 $x(t) = A \cos(\omega t + \delta)$ ($A>0, \pi \ge \delta \ge 0$)の形に変形し、単振動の振幅$A$, 周期$T$, 初期位相$\delta$を求め、速さの最大値を求めよ。

(b) 図1のグラフから、質量2.0 kgの小球の振動中心点を読み取り、位置$x$を$t$の関数として表し、速度$v$と小球にかかる力$f$を$t$の関数として求めよ。ただし、円周率は$\pi$とする。

2. 解き方の手順

(a)

1. 運動方程式: $m \ddot{x} = -kx$ より、$\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0$。$\omega^2 = \frac{k}{m}$ なので、$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$ rad/s。

2. 初期条件: $x(0) = \sqrt{3}$ および $\dot{x}(0) = -3$ を用いる。$x(t) = a \cos(\sqrt{3} t) + b \sin(\sqrt{3} t)$ より、$x(0) = a = \sqrt{3}$。

$\dot{x}(t) = -a\sqrt{3}\sin(\sqrt{3} t) + b\sqrt{3}\cos(\sqrt{3} t)$ より、$\dot{x}(0) = b\sqrt{3} = -3$。よって、$b = -\sqrt{3}$。

従って、$x(t) = \sqrt{3}\cos(\sqrt{3} t) - \sqrt{3}\sin(\sqrt{3} t)$。

3. 加法定理を用いて変形: $x(t) = A \cos(\omega t + \delta) = A \cos(\omega t)\cos(\delta) - A \sin(\omega t)\sin(\delta)$。

係数を比較して、$A \cos(\delta) = \sqrt{3}$ および $A \sin(\delta) = \sqrt{3}$。

両辺を2乗して足すと、$A^2 = 3 + 3 = 6$ より、$A = \sqrt{6}$。

$\tan(\delta) = \frac{\sin(\delta)}{\cos(\delta)} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$。よって、$\delta = \frac{\pi}{4}$。

従って、$x(t) = \sqrt{6} \cos(\sqrt{3} t + \frac{\pi}{4})$。

4. 周期: $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ s。

5. 速さの最大値: $v_{max} = A\omega = \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ m/s。

(b)

1. グラフより、振動の中心は$x=-2$、振幅は$A=2$、周期は$T=2$ s。よって$\omega = \frac{2\pi}{T}=\pi$ rad/s。

2. $x(t) = A \sin(\omega t + \delta) + B$ の形を仮定する。振動中心は$B = -2$。$x(t) = 2 \sin(\pi t + \delta) - 2$。

$t=0$のとき、$x(0) = -4$なので、$-4 = 2 \sin(\delta) - 2$より、$\sin(\delta) = -1$、$\delta = -\frac{\pi}{2}$。

よって、$x(t) = 2 \sin(\pi t - \frac{\pi}{2}) - 2 = -2\cos(\pi t) - 2$。

3. 速度: $v(t) = \dot{x}(t) = 2\pi \sin(\pi t)$。

4. 力: $f(t) = m\ddot{x}(t) = m \dot{v}(t) = 2.0 \cdot 2\pi^2 \cos(\pi t) = 4\pi^2 \cos(\pi t)$。

3. 最終的な答え

(a)

$a = \sqrt{3}$, $b = -\sqrt{3}$, $\omega = \sqrt{3}$ rad/s

$x(t) = \sqrt{6} \cos(\sqrt{3} t + \frac{\pi}{4})$

振幅: $\sqrt{6}$ m, 周期: $\frac{2\pi}{\sqrt{3}}$ s, 初期位相: $\frac{\pi}{4}$

速さの最大値: $3\sqrt{2}$ m/s

(b)

振動中心: $x=-2$

$x(t) = -2\cos(\pi t) - 2$

$v(t) = 2\pi \sin(\pi t)$

$f(t) = 4\pi^2 \cos(\pi t)$