製品Aと製品Bを製造する工場がある。製品Aを1トン作るには原料Pが2トン、原料Qが4トン必要。製品Bを1トン作るには原料Pが6トン、原料Qが2トン必要。1ヶ月に入手できる原料はPが140トン、Qが120トン。製品Aの利益は1トンあたり30万円、製品Bの利益は1トンあたり20万円。1ヶ月の利益が最大になるように、製品Aと製品Bをそれぞれ何トンずつ作るべきか、また、そのときの利益を求める。

1. 問題の内容

製品Aと製品Bを製造する工場がある。製品Aを1トン作るには原料Pが2トン、原料Qが4トン必要。製品Bを1トン作るには原料Pが6トン、原料Qが2トン必要。1ヶ月に入手できる原料はPが140トン、Qが120トン。製品Aの利益は1トンあたり30万円、製品Bの利益は1トンあたり20万円。1ヶ月の利益が最大になるように、製品Aと製品Bをそれぞれ何トンずつ作るべきか、また、そのときの利益を求める。

2. 解き方の手順

製品Aの生産量を $x$ トン、製品Bの生産量を $y$ トンとする。

制約条件は以下の通り。

* 原料Pの制約： $2x + 6y \le 140$

* 原料Qの制約： $4x + 2y \le 120$

* 生産量の非負制約： $x \ge 0$, $y \ge 0$

目的関数は利益 $z$ であり、以下の式で表される。

$z = 30x + 20y$ (単位：万円)

この問題を線形計画法で解く。まず、制約条件をグラフに図示する。

$2x + 6y = 140$ は、$x + 3y = 70$ となる。この直線は、$(70, 0)$ と $(0, \frac{70}{3}) \approx (0, 23.33)$ を通る。

$4x + 2y = 120$ は、$2x + y = 60$ となる。この直線は、$(30, 0)$ と $(0, 60)$ を通る。

$x \ge 0$, $y \ge 0$ により、第一象限のみを考える。

実行可能領域は、これらの直線と軸で囲まれた領域となる。

次に、実行可能領域の頂点を求める。

* $(0, 0)$

* $(30, 0)$

* $(0, \frac{70}{3})$

* 2つの直線の交点を求める。

$x + 3y = 70$

$2x + y = 60$

この連立方程式を解く。2番目の式を2倍すると$4x + 2y = 120$。1番目の式を2倍して引くと$2x + 6y - (4x + 2y) = 140 - 120$となる。$-2x+4y = 20$となり、$y = \frac{x}{2} + 5$となる。

$x + 3(\frac{x}{2} + 5) = 70$

$x + \frac{3}{2}x + 15 = 70$

$\frac{5}{2}x = 55$

$x = 22$

$y = \frac{22}{2} + 5 = 11 + 5 = 16$

交点は $(22, 16)$。

次に、各頂点での目的関数 $z = 30x + 20y$ の値を計算する。

* $(0, 0)$: $z = 30(0) + 20(0) = 0$

* $(30, 0)$: $z = 30(30) + 20(0) = 900$

* $(0, \frac{70}{3})$: $z = 30(0) + 20(\frac{70}{3}) = \frac{1400}{3} \approx 466.67$

* $(22, 16)$: $z = 30(22) + 20(16) = 660 + 320 = 980$

3. 最終的な答え

利益が最大になるのは、製品Aを22トン、製品Bを16トン生産するときであり、そのときの利益は980万円である。