長方形ABCDを、頂点Bが頂点Dに重なるように折り、頂点Aが移る点をEとする。折り目の直線と辺ADとの交点をF、辺BCとの交点をGとする。このとき、三角形DEFと三角形DCGが合同であることを証明する。

## 問題3の解答

1. 問題の内容

長方形ABCDを、頂点Bが頂点Dに重なるように折り、頂点Aが移る点をEとする。折り目の直線と辺ADとの交点をF、辺BCとの交点をGとする。このとき、三角形DEFと三角形DCGが合同であることを証明する。

2. 解き方の手順

合同を証明するために、三角形DEFと三角形DCGの辺または角の関係を調べる。

* まず、長方形ABCDの性質より、$AD = BC$ が成り立つ。

* 次に、折り返しの性質より、$EF = DF$ かつ $\angle EFD = \angle BFD$ が成り立つ。さらに、折り返しの性質より、$AE=ED$が成り立つ。

* また、$AD \parallel BC$ より、$\angle AFG = \angle CGF$ が成り立つ。

* $\angle EFD$ と $\angle AFG$ は対頂角なので、$\angle EFD = \angle AFG$ が成り立つ。

* よって、$\angle AFG = \angle CGF$ が成り立つ。

* 仮定より、長方形ABCDなので$\angle ADC = \angle BCD = 90^\circ$ が成り立つ。

* また、$\angle EFD + \angle AFD = 180^\circ$であり、$\angle EFD = \angle AFD$から、$\angle AFD = \angle EFD = 90^\circ$がわかる。

* 折り返しにより、$BD$と$FG$は直交するため、$\angle FGC = 90^\circ$がわかる。

* したがって、$\angle AFD = \angle CGD = 90^\circ$である。

次に、合同条件に当てはまるか検討する。$\angle DFE = \angle CGF$がわかったので、直角三角形の合同条件である「斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい」または「斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」が使えるか検討する。

$FD=FG$なので、直角三角形$DEF$と$DCG$において、

* $\angle DFE = \angle DGC = 90^\circ$

* $FD = DG$ (長方形ABCDにおいて、$AD = BC$なので、折り返しにより$FD = BD$となり、$BD=DG$であるから、$FD = DG$である)

* $DE = DC$ (長方形ABCDにおいて、$AB = DC$であり、折り返しにより$DE = AB$なので、$DE=DC$である)

したがって、直角三角形DEFとDCGは斜辺と他の一辺がそれぞれ等しいので合同である。

3. 最終的な答え

三角形DEFと三角形DCGは合同である。

（△DEF≡△DCG）