直角三角形が与えられており、斜辺を軸として1回転させてできる立体の体積を求める問題です。底辺の長さは4cm、斜辺の長さは9cmです。円周率は $π$ とします。 ## 解き方の手順 1. 回転させてできる立体は、2つの円錐を底面で貼り合わせた形になります。それぞれの円錐の底面の半径を $r$ 、高さを $h_1$、$h_2$ とします。

## 問題1 (問題7)

1. 問題の内容

直角三角形が与えられており、斜辺を軸として1回転させてできる立体の体積を求める問題です。底辺の長さは4cm、斜辺の長さは9cmです。円周率は $π$ とします。

## 解き方の手順

1. 回転させてできる立体は、2つの円錐を底面で貼り合わせた形になります。それぞれの円錐の底面の半径を $r$ 、高さを $h_1$、$h_2$ とします。

2. 直角三角形の面積を2通りの方法で表し、$r$ を求めます。直角三角形の面積は、

$\frac{1}{2} \times 4 \times h$ で求められます。ここで$h$は直角を挟むもう一方の辺の長さです。また、直角三角形の面積は、

$\frac{1}{2} \times 9 \times r$ でも求められます。

$h$はピタゴラスの定理から$h = \sqrt{9^2 - 4^2} = \sqrt{81-16} = \sqrt{65}$となります。

したがって、$4\sqrt{65} = 9r$ となり、$r = \frac{4\sqrt{65}}{9}$ となります。

3. 次に、高さ $h_1$、$h_2$ を求めます。$h_1 + h_2 = 9$ が成り立ちます。

また、ピタゴラスの定理から、$h_1 = \sqrt{4^2+r^2} = \sqrt{16+(\frac{4\sqrt{65}}{9})^2}$と、$h_2= \sqrt{9^2 - (\frac{4\sqrt{65}}{9})^2}$は計算が複雑になり、今回の解法ではうまくいきません。

別の方法として、直角三角形の相似を利用します。

斜辺を軸としたときにできる2つの円錐のそれぞれの高さを$h_1$, $h_2$とすると、$h_1 + h_2 = 9$です。また、直角三角形の面積を$S$とすると、$S = \frac{1}{2} \times 4 \times \sqrt{65} = \frac{1}{2} \times 9 \times r$です。これから、$r = \frac{4\sqrt{65}}{9}$が求められます。

できた2つの円錐の体積を$V_1$, $V_2$とすると、$V_1 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_1$、$V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 h_2$です。求める立体の体積は$V = V_1 + V_2 = \frac{1}{3} \pi r^2 (h_1 + h_2) = \frac{1}{3} \pi r^2 \times 9 = 3 \pi r^2$です。

$r$の値を代入すると、$V = 3 \pi (\frac{4\sqrt{65}}{9})^2 = 3 \pi \times \frac{16 \times 65}{81} = \frac{16 \times 65}{27} \pi = \frac{1040}{27} \pi$となります。

## 最終的な答え

$\frac{1040}{27}π$ cm$^3$

## 問題2 (問題8)

1. 問題の内容

10点満点の数学のテストの得点の表が与えられており、最頻値を求める問題です。

2. 解き方の手順

最頻値は、データの中で最も頻繁に出現する値です。表の中で最も人数が多い得点を探します。

3. 最終的な答え

5点