組み合わせに関する性質についてです。具体的には、$nC_r = nC_{n-r}$という性質と、$ {}^\circ C_\triangle = {}^\circ C_\square $ のとき $\triangle + \square = \circ $ という性質が成り立つ理由を理解することが目的です。

1. 問題の内容

組み合わせに関する性質についてです。具体的には、$nC_r = nC_{n-r}$という性質と、${}^\circ C_\triangle = {}^\circ C_\square$ のとき $\triangle + \square = \circ$ という性質が成り立つ理由を理解することが目的です。

2. 解き方の手順

まず、$nC_r$ の定義を確認します。

$nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

次に、$nC_{n-r}$ を計算します。

$nC_{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}$

これより、$nC_r = nC_{n-r}$ が成り立つことがわかります。

次に、${}^\circ C_\triangle = {}^\circ C_\square$ のとき $\triangle + \square = \circ$ という性質について考えます。

${}^\circ C_\triangle = {}^\circ C_{\circ - \triangle}$

したがって、

$\square = \circ - \triangle$

$\triangle + \square = \circ$

3. 最終的な答え

$nC_r = nC_{n-r}$ は、組み合わせの定義から導かれる性質です。

${}^\circ C_\triangle = {}^\circ C_\square$ が成り立つとき、$\triangle + \square = \circ$が成り立ちます。