与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - xy - 2y^2$ の部分を因数分解します。これは、$x$ と $y$ の同次式なので、$(x+y)(x-2y)$ となります。元の式を次のように書き換えます。

$x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x+y)(x-2y) - x - 7y - 6$

次に、$x+y$ と $x-2y$ を含む項が現れるように、$- x - 7y - 6$ の部分を調整します。

$(x+y)$ と $(x-2y)$ をそれぞれ含む項を作れるように、$-x - 7y - 6 = -(x+y) -6y - 6$ または $-x - 7y - 6 = -(x -2y) - 9y - 6$のように変形して、全体を因数分解できるか試行錯誤します。

ここでは、定数項が-6であることに着目します。

$x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x+y+a)(x-2y+b)$の形になると仮定して展開してみます。

$(x+y+a)(x-2y+b) = x^2-2xy+bx+xy-2y^2+by+ax+ay+ab = x^2 -xy -2y^2 + (a+b)x+(a+b)x + (b-2a)y + ab$

元の式と比較して、

$a+b = -1$

$b-2a = -7$

$ab = -6$

という連立方程式を得ます。

$a+b = -1$より、$b = -1-a$ なので、$(-1-a)-2a = -7$

$-3a = -6$

$a=2$

すると、$b = -1-2 = -3$

$ab = 2(-3) = -6$ なので、すべての式を満たします。

したがって、

$x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x+y+2)(x-2y-3)$

3. 最終的な答え

$(x+y+2)(x-2y-3)$