与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた式 x2xy2y2x7y6x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、x2xy2y2x^2 - xy - 2y^2 の部分を因数分解します。これは、xxyy の同次式なので、(x+y)(x2y)(x+y)(x-2y) となります。元の式を次のように書き換えます。
x2xy2y2x7y6=(x+y)(x2y)x7y6x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x+y)(x-2y) - x - 7y - 6
次に、x+yx+yx2yx-2y を含む項が現れるように、x7y6- x - 7y - 6 の部分を調整します。
(x+y)(x+y)(x2y)(x-2y) をそれぞれ含む項を作れるように、x7y6=(x+y)6y6 -x - 7y - 6 = -(x+y) -6y - 6 または x7y6=(x2y)9y6-x - 7y - 6 = -(x -2y) - 9y - 6のように変形して、全体を因数分解できるか試行錯誤します。
ここでは、定数項が-6であることに着目します。
x2xy2y2x7y6=(x+y+a)(x2y+b)x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x+y+a)(x-2y+b)の形になると仮定して展開してみます。
(x+y+a)(x2y+b)=x22xy+bx+xy2y2+by+ax+ay+ab=x2xy2y2+(a+b)x+(a+b)x+(b2a)y+ab(x+y+a)(x-2y+b) = x^2-2xy+bx+xy-2y^2+by+ax+ay+ab = x^2 -xy -2y^2 + (a+b)x+(a+b)x + (b-2a)y + ab
元の式と比較して、
a+b=1a+b = -1
b2a=7b-2a = -7
ab=6ab = -6
という連立方程式を得ます。
a+b=1a+b = -1より、b=1ab = -1-a なので、(1a)2a=7(-1-a)-2a = -7
3a=6-3a = -6
a=2a=2
すると、b=12=3b = -1-2 = -3
ab=2(3)=6ab = 2(-3) = -6 なので、すべての式を満たします。
したがって、
x2xy2y2x7y6=(x+y+2)(x2y3)x^2 - xy - 2y^2 - x - 7y - 6 = (x+y+2)(x-2y-3)

3. 最終的な答え

(x+y+2)(x2y3)(x+y+2)(x-2y-3)

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