媒介変数 $t$ で表された以下の式がどのような曲線を描くかを求める問題です。 $x = t^2 + \frac{1}{t^2}$ $y = t^2 - \frac{1}{t^2}$ ただし、$t \neq 0$

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された以下の式がどのような曲線を描くかを求める問題です。

$x = t^2 + \frac{1}{t^2}$

$y = t^2 - \frac{1}{t^2}$

ただし、$t \neq 0$

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の関係式を導出します。

$x + y$ および $x - y$ を計算すると、

$x + y = 2t^2$

$x - y = \frac{2}{t^2}$

これらの式から $t^2$ を消去します。

$t^2 = \frac{x+y}{2}$ を $x-y = \frac{2}{t^2}$ に代入すると、

$x - y = \frac{2}{\frac{x+y}{2}} = \frac{4}{x+y}$

したがって、

$(x-y)(x+y) = 4$

$x^2 - y^2 = 4$

これは双曲線の方程式です。

ただし、$t \neq 0$ であるため、$x$ と $y$ の範囲を考慮する必要があります。

$x = t^2 + \frac{1}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{1}{t^2}} = 2$ （相加相乗平均の不等式より）

$y$ は実数全体を取りうる。

$x^2 - y^2 = 4$ より、$x = \pm \sqrt{y^2 + 4}$ であり、$x \ge 2$ であることから、$x = \sqrt{y^2+4}$

$x \ge 2$であるから、$x^2 = y^2 + 4 \ge 4$

$x^2 - y^2 = 4$の$x \ge 2$の部分。

3. 最終的な答え

双曲線 $x^2 - y^2 = 4$ の $x \ge 2$ の部分