媒介変数 $t$ で表された以下の式がどのような曲線を描くかを求める問題です。 $x = t^2 + \frac{1}{t^2}$ $y = t^2 - \frac{1}{t^2}$ ただし、$t \neq 0$

代数学曲線媒介変数双曲線不等式相加相乗平均
2025/5/27

1. 問題の内容

媒介変数 tt で表された以下の式がどのような曲線を描くかを求める問題です。
x=t2+1t2x = t^2 + \frac{1}{t^2}
y=t21t2y = t^2 - \frac{1}{t^2}
ただし、t0t \neq 0

2. 解き方の手順

まず、xxyy の関係式を導出します。
x+yx + y および xyx - y を計算すると、
x+y=2t2x + y = 2t^2
xy=2t2x - y = \frac{2}{t^2}
これらの式から t2t^2 を消去します。
t2=x+y2t^2 = \frac{x+y}{2}xy=2t2x-y = \frac{2}{t^2} に代入すると、
xy=2x+y2=4x+yx - y = \frac{2}{\frac{x+y}{2}} = \frac{4}{x+y}
したがって、
(xy)(x+y)=4(x-y)(x+y) = 4
x2y2=4x^2 - y^2 = 4
これは双曲線の方程式です。
ただし、t0t \neq 0 であるため、xxyy の範囲を考慮する必要があります。
x=t2+1t22t21t2=2x = t^2 + \frac{1}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{1}{t^2}} = 2 (相加相乗平均の不等式より)
yy は実数全体を取りうる。
x2y2=4x^2 - y^2 = 4 より、x=±y2+4x = \pm \sqrt{y^2 + 4} であり、x2x \ge 2 であることから、x=y2+4x = \sqrt{y^2+4}
x2x \ge 2であるから、x2=y2+44x^2 = y^2 + 4 \ge 4
x2y2=4x^2 - y^2 = 4x2x \ge 2の部分。

3. 最終的な答え

双曲線 x2y2=4x^2 - y^2 = 4x2x \ge 2 の部分

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