放物線 $y = x^2 - 3x + 2$ を平行移動した放物線で、点 (1, 1) と (2, 3) を通る2次関数を求める問題です。

代数学二次関数放物線平行移動連立方程式
2025/5/27

1. 問題の内容

放物線 y=x23x+2y = x^2 - 3x + 2 を平行移動した放物線で、点 (1, 1) と (2, 3) を通る2次関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、平行移動した放物線を y=x23x+2+ax+by = x^2 - 3x + 2 + ax + b と表します。これは、y=x23x+2y = x^2 - 3x + 2ax+bax + b を加えることで、平行移動を表しています。
次に、この放物線が点 (1, 1) と (2, 3) を通ることから、以下の2つの式が得られます。
1=123(1)+2+a(1)+b1 = 1^2 - 3(1) + 2 + a(1) + b
3=223(2)+2+a(2)+b3 = 2^2 - 3(2) + 2 + a(2) + b
これらの式を整理すると以下のようになります。
1=13+2+a+b1 = 1 - 3 + 2 + a + b
3=46+2+2a+b3 = 4 - 6 + 2 + 2a + b
さらに整理すると、
1=a+b1 = a + b
3=2a+b3 = 2a + b
上記の2つの式から aabb を求める連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと、
31=(2a+b)(a+b)3 - 1 = (2a + b) - (a + b)
2=a2 = a
したがって、a=2a = 2 が得られます。
a=2a = 21=a+b1 = a + b に代入すると、
1=2+b1 = 2 + b
b=1b = -1
したがって、b=1b = -1 が得られます。
したがって、a=2a = 2b=1b = -1y=x23x+2+ax+by = x^2 - 3x + 2 + ax + b に代入すると、
y=x23x+2+2x1y = x^2 - 3x + 2 + 2x - 1
y=x2x+1y = x^2 - x + 1

3. 最終的な答え

y=x2x+1y = x^2 - x + 1

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