図のような道路がある町で、A地点からB地点まで最短距離で行く経路について、以下の3つの場合における経路の数を求める問題です。 (1) P地点を通る場合 (2) P地点を通るがQ地点を通らない場合 (3) R地点を通らない場合

1. 問題の内容

図のような道路がある町で、A地点からB地点まで最短距離で行く経路について、以下の3つの場合における経路の数を求める問題です。

(1) P地点を通る場合

(2) P地点を通るがQ地点を通らない場合

(3) R地点を通らない場合

2. 解き方の手順

(1) P地点を通る場合

AからPまでの経路数と、PからBまでの経路数をそれぞれ求め、それらを掛け合わせます。

AからPまでは、右に1回、上に2回進むので、経路数は $_{3}C_{1} = \frac{3!}{1!2!} = 3$通りです。

PからBまでは、右に3回、上に1回進むので、経路数は $_{4}C_{1} = \frac{4!}{3!1!} = 4$通りです。

よって、P地点を通る経路数は $3 \times 4 = 12$通りです。

(2) P地点を通るがQ地点を通らない場合

P地点を通る経路数から、P地点とQ地点の両方を通る経路数を引きます。

P地点を通る経路数は(1)で求めたように12通りです。

AからPまで3通り、QからBまで1通りなので、 PとQを通る経路の組み合わせを考えます。

PからQまでは、右に2回進むので1通りです。QからBまでは、下に0回、右に1回進むので1通りです。

AからPを通ってQを通ってBまで行く場合の経路数は、AからPへの経路数×PからQへの経路数×QからBへの経路数で求まります。

AからPへ行く経路数 = 3通り

PからQへ行く経路数 = 1通り

QからBへ行く経路数 = 1通り

よって、P地点とQ地点の両方を通る経路数は $3 \times 1 \times 1=3$通りです。

したがって、P地点を通るがQ地点を通らない経路数は $12 - 3 = 9$通りです。

(3) R地点を通らない場合

AからBまでの全体の経路数から、R地点を通る経路数を引きます。

AからBまでの全体の経路数は、右に4回、上に4回進むので、経路数は $_{8}C_{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$通りです。

AからRまでは、右に1回、上に3回進むので、経路数は $_{4}C_{1} = \frac{4!}{1!3!} = 4$通りです。

RからBまでは、右に3回、上に1回進むので、経路数は $_{4}C_{1} = \frac{4!}{3!1!} = 4$通りです。

よって、R地点を通る経路数は $4 \times 4 = 16$通りです。

したがって、R地点を通らない経路数は $70 - 16 = 54$通りです。

3. 最終的な答え

(1) P地点を通る場合：12通り

(2) P地点を通るがQ地点を通らない場合：9通り

(3) R地点を通らない場合：54通り