二つの問題を解きます。 (1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2})$ を計算する。 (2) $|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}|$ を計算する。

1. 問題の内容

二つの問題を解きます。

(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2})$ を計算する。

(2) $|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}|$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{3} - 2\sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{3} + 2\sqrt{2})$ を計算する。

$A = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ と置くと、与式は $(A - 2\sqrt{2})(A + 2\sqrt{2})$ となる。

これは和と差の積なので、$A^2 - (2\sqrt{2})^2$ となる。

$A^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

$(2\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8$

よって、与式は $8 + 2\sqrt{15} - 8 = 2\sqrt{15}$ となる。

(2) $|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}|$ を計算する。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ である。

$3 = \sqrt{9}$ なので、$3 > 2\sqrt{2}$ である。よって、$3 - 2\sqrt{2} > 0$ なので、$|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}$ となる。

$1 = \sqrt{1}$ なので、$1 < 2\sqrt{2}$ である。よって、$1 - 2\sqrt{2} < 0$ なので、$|1 - 2\sqrt{2}| = -(1 - 2\sqrt{2}) = -1 + 2\sqrt{2}$ となる。

したがって、$|3 - 2\sqrt{2}| + |1 - 2\sqrt{2}| = (3 - 2\sqrt{2}) + (-1 + 2\sqrt{2}) = 3 - 1 = 2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{15}$

(2) $2$