複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ が与えられている。複素数平面上の原点 $O$ と点 $A(\alpha)$ を結ぶ線分 $OA$ の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ について、以下の問いに答える。 (1) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}$ の値が一定であることを示せ。 (2) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ が与えられている。複素数平面上の原点 $O$ と点 $A(\alpha)$ を結ぶ線分 $OA$ の垂直二等分線上の点を表す複素数 $z$ について、以下の問いに答える。

(1) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}$ の値が一定であることを示せ。

(2) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分 $OA$ の垂直二等分線上の点 $z$ は、$|z - 0| = |z - \alpha|$ を満たす。すなわち、$|z| = |z - \alpha|$ である。両辺を2乗すると、

$|z|^2 = |z - \alpha|^2$

$z\bar{z} = (z - \alpha)(\bar{z} - \bar{\alpha})$

$z\bar{z} = z\bar{z} - z\bar{\alpha} - \alpha\bar{z} + \alpha\bar{\alpha}$

$z\bar{\alpha} + \alpha\bar{z} = \alpha\bar{\alpha}$

$\alpha\bar{\alpha}$ は複素数 $z$ に依存しないので、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}$ の値は一定である。

(2) (1) より、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} = \alpha\bar{\alpha}$ である。

$\alpha = 1 + \sqrt{3}i$ であるから、$\bar{\alpha} = 1 - \sqrt{3}i$ である。

したがって、

$\alpha\bar{\alpha} = (1 + \sqrt{3}i)(1 - \sqrt{3}i) = 1^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$

ゆえに、$\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} = 4$

3. 最終的な答え

(1) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}$ の値は一定である。

(2) $\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} = 4$