与えられた連立一次方程式の拡大係数行列 $A$ を簡約化する過程で現れる行列 $\tilde{B}$ と、簡約化に使われた基本行列の逆行列の積 $P_1^{-1} P_2^{-1} P_3^{-1} P_4^{-1} P_5^{-1}$ を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。 $2x_1 + 4x_2 + 7x_3 + x_4 = 16$ $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 7$ $-3x_1 - 6x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -17$ 行基本変形は、以下の順番で行われます。 1. 第1行と第2行を入れ替える。

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列 $A$ を簡約化する過程で現れる行列 $\tilde{B}$ と、簡約化に使われた基本行列の逆行列の積 $P_1^{-1} P_2^{-1} P_3^{-1} P_4^{-1} P_5^{-1}$ を求める問題です。連立方程式は以下の通りです。

$2x_1 + 4x_2 + 7x_3 + x_4 = 16$

$x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 7$

$-3x_1 - 6x_2 - 7x_3 + 2x_4 = -17$

行基本変形は、以下の順番で行われます。

1. 第1行と第2行を入れ替える。

2. 第2行に第1行の -2倍を加える。

3. 第3行に第1行の 3倍を加える。

4. 第3行に第2行の -2倍を加える。

5. 第1行に第2行の -3倍を加える。

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列 $A$ を求めます。

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 7 & 1 & 16 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 7 \\ -3 & -6 & -7 & 2 & -17 \end{pmatrix}$

次に、指定された行基本変形を順番に行い、それぞれの操作に対応する基本行列 $P_i$ を求めます。

1. 第1行と第2行を入れ替える。 $P_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_1 = P_1 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 7 \\ 2 & 4 & 7 & 1 & 16 \\ -3 & -6 & -7 & 2 & -17 \end{pmatrix}$

2. 第2行に第1行の -2倍を加える。 $P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_2 = P_2 A_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ -3 & -6 & -7 & 2 & -17 \end{pmatrix}$

3. 第3行に第1行の 3倍を加える。 $P_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A_3 = P_3 A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

4. 第3行に第2行の -2倍を加える。 $P_4 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$

$A_4 = P_4 A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

5. 第1行に第2行の -3倍を加える。 $P_5 = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\tilde{B} = P_5 A_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

したがって、

$\tilde{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

(33) = 1, (34) = 2, (35) = 0, (36) = -3, (37) = 1

(38) = 0, (39) = 0, (40) = 1, (41) = 1, (42) = 2

(43) = 0, (44) = 0, (45) = 0, (46) = 0, (47) = 0

次に、各基本行列の逆行列を求めます。

$P_1^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$P_2^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$P_3^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$P_4^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

$P_5^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

これらの逆行列の積を計算します。

$P_1^{-1} P_2^{-1} P_3^{-1} P_4^{-1} P_5^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -3 & -7 & 1 \end{pmatrix}$

(48) = 2, (49) = 7, (50) = 0

(51) = 1, (52) = 3, (53) = 0

(54) = -3, (55) = -7, (56) = 1

3. 最終的な答え

$\tilde{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$P_1^{-1} P_2^{-1} P_3^{-1} P_4^{-1} P_5^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 7 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -3 & -7 & 1 \end{pmatrix}$