与えられた4つの計算問題を解きます。 (1) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$ (2) $(\sqrt{5} - 2)^2$ (3) $(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})$ (4) $(\sqrt{3} + 4\sqrt{7})(\sqrt{3} + \sqrt{7})$

1. 問題の内容

与えられた4つの計算問題を解きます。

(1) $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2$

(2) $(\sqrt{5} - 2)^2$

(3) $(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2})$

(4) $(\sqrt{3} + 4\sqrt{7})(\sqrt{3} + \sqrt{7})$

2. 解き方の手順

(1) 二項の平方の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を用います。

$(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$

(2) 二項の平方の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を用います。

$(\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(2) + (2)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

(3) 和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を用います。

$(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$

(4) 展開して計算します。

$(\sqrt{3} + 4\sqrt{7})(\sqrt{3} + \sqrt{7}) = (\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}\sqrt{7} + 4\sqrt{7}\sqrt{3} + 4(\sqrt{7})^2 = 3 + \sqrt{21} + 4\sqrt{21} + 4(7) = 3 + 5\sqrt{21} + 28 = 31 + 5\sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $7 + 2\sqrt{10}$

(2) $9 - 4\sqrt{5}$

(3) $7$

(4) $31 + 5\sqrt{21}$