$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ $x^2 - (a + 2)x + (a + 7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2つの2次方程式

$2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$

$x^2 - (a + 2)x + (a + 7) = 0$

が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

共通解を $\alpha$ とすると、以下の2つの式が成り立つ。

$2\alpha^2 - a\alpha - (2a + 2) = 0$ ...(1)

$\alpha^2 - (a + 2)\alpha + (a + 7) = 0$ ...(2)

(2) $\times 2$ - (1) より

$2\alpha^2 - 2(a + 2)\alpha + 2(a + 7) - (2\alpha^2 - a\alpha - (2a + 2)) = 0$

$-2(a + 2)\alpha + 2(a + 7) + a\alpha + 2a + 2 = 0$

$-2a\alpha - 4\alpha + 2a + 14 + a\alpha + 2a + 2 = 0$

$-a\alpha - 4\alpha + 4a + 16 = 0$

$-\alpha(a + 4) + 4(a + 4) = 0$

$(-\alpha + 4)(a + 4) = 0$

したがって、$\alpha = 4$ または $a = -4$ である。

(i) $\alpha = 4$ のとき

(2)に代入して

$4^2 - (a + 2) \times 4 + (a + 7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$-3a + 15 = 0$

$a = 5$

このとき2つの式は

$2x^2 - 5x - 12 = 0$

$(2x + 3)(x - 4) = 0$

$x = -\frac{3}{2}, 4$

$x^2 - 7x + 12 = 0$

$(x - 3)(x - 4) = 0$

$x = 3, 4$

共通解は $x = 4$ のみであるので、条件を満たす。

(ii) $a = -4$ のとき

(1)は

$2x^2 + 4x + 6 = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

(2)は

$x^2 - (-4 + 2)x + (-4 + 7) = 0$

$x^2 + 2x + 3 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}$

共通解は2つ存在するので、条件を満たさない。

したがって、$a = 5$ で、共通解は $4$ である。

3. 最終的な答え

共通解は $4$ であり、$a = 5$ である。