$x = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めます。 (1) $x+y$ と $xy$ (2) $x^2 + y^2$ (3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ (4) $x^3 + y^3$

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2}$、 $y = \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2}$ のとき、次の式の値を求めます。

(1) $x+y$ と $xy$

(2) $x^2 + y^2$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

(4) $x^3 + y^3$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ と $xy$ を計算します。

$x+y = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{2\sqrt{7}}{2} = \sqrt{7}$

$xy = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{7}-\sqrt{5}}{2} = \frac{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2}{4} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) $x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (\sqrt{7})^2 - 2(\frac{1}{2}) = 7 - 1 = 6$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y}$ を計算します。

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 6 \cdot 2 = 12$

(4) $x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x^2+y^2) - xy) = \sqrt{7}(6-\frac{1}{2}) = \sqrt{7}(\frac{12-1}{2}) = \frac{11\sqrt{7}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = \sqrt{7}$、 $xy = \frac{1}{2}$

(2) $x^2 + y^2 = 6$

(3) $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = 12$

(4) $x^3 + y^3 = \frac{11\sqrt{7}}{2}$