与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ (2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ (3) $\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$ (4) $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{2\sqrt{3}}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(3) $\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}}$

(4) $\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 分母の有理化：分母と分子に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) 分母の有理化：分母の共役な複素数$\sqrt{3} - \sqrt{2}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) \times (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{3 - \sqrt{6}}{3 - 2} = 3 - \sqrt{6}$

(3) 分母の有理化：分母の共役な複素数$3+\sqrt{7}$を分母と分子にかけます。

$\frac{3+2\sqrt{7}}{3-\sqrt{7}} = \frac{(3+2\sqrt{7}) \times (3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7}) \times (3+\sqrt{7})} = \frac{9 + 3\sqrt{7} + 6\sqrt{7} + 14}{9 - 7} = \frac{23 + 9\sqrt{7}}{2}$

(4) 分母の有理化：分母の共役な複素数$\sqrt{6} - \sqrt{3}$を分母と分子にかけます。

$\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{6}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{6}-\sqrt{3})}{(\sqrt{6}+\sqrt{3})(\sqrt{6}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{12} - \sqrt{6} - \sqrt{6} + \sqrt{3}}{6-3} = \frac{2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + \sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{3}}{6}$

(2) $3 - \sqrt{6}$

(3) $\frac{23 + 9\sqrt{7}}{2}$

(4) $\frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{6}}{3}$