与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。 (1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ (2) $\frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{6} + 1}$ (3) $\frac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 2}$

1. 問題の内容

与えられた3つの式の分母を有理化する問題です。

(1) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$

(2) $\frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{6} + 1}$

(3) $\frac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 2}$

2. 解き方の手順

(1) 分母が $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ なので、分母と分子に $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{1 \cdot (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) 分母が $\sqrt{6} + 1$ なので、分母と分子に $\sqrt{6} - 1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{6} - 1}{\sqrt{6} + 1} = \frac{(\sqrt{6} - 1)(\sqrt{6} - 1)}{(\sqrt{6} + 1)(\sqrt{6} - 1)} = \frac{(\sqrt{6} - 1)^2}{6 - 1} = \frac{6 - 2\sqrt{6} + 1}{5} = \frac{7 - 2\sqrt{6}}{5}$

(3) 分母が $\sqrt{5} - 2$ なので、分母と分子に $\sqrt{5} + 2$ を掛けます。

$\frac{2\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{(2\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 2)}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{2(\sqrt{5})^2 + 4\sqrt{5} - \sqrt{5} - 2}{5 - 4} = \frac{2(5) + 3\sqrt{5} - 2}{1} = \frac{10 + 3\sqrt{5} - 2}{1} = 8 + 3\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$

(2) $\frac{7 - 2\sqrt{6}}{5}$

(3) $8 + 3\sqrt{5}$