与えられた6つの計算問題を解く問題です。 (1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-3)$ (2) $(\sqrt{6}+2)^2$ (3) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$ (4) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$ (5) $(1+\sqrt{3})^2(1-\sqrt{3})^2$ (6) $(2\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの計算問題を解く問題です。

(1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-3)$

(2) $(\sqrt{6}+2)^2$

(3) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$

(4) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$

(5) $(1+\sqrt{3})^2(1-\sqrt{3})^2$

(6) $(2\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$

2. 解き方の手順

(1) $(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-3)$

展開して計算します。

$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-3) = (\sqrt{2})^2 -3\sqrt{2} + \sqrt{2} - 3 = 2 -2\sqrt{2} -3 = -1 -2\sqrt{2}$

(2) $(\sqrt{6}+2)^2$

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{6}+2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 2 + 2^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6}$

(3) $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$

(4) $(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)$

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。

$(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2) = (\sqrt{3})^2 - 2^2 = 3 - 4 = -1$

(5) $(1+\sqrt{3})^2(1-\sqrt{3})^2$

まず、$(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1-3 = -2$。

$(1+\sqrt{3})^2(1-\sqrt{3})^2 = [(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})]^2 = (-2)^2 = 4$

(6) $(2\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})$

展開して計算します。

$(2\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3}) = 2(\sqrt{7})^2 + 2\sqrt{7}\sqrt{3} - \sqrt{3}\sqrt{7} - (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot 7 + 2\sqrt{21} - \sqrt{21} - 3 = 14 + \sqrt{21} - 3 = 11 + \sqrt{21}$

3. 最終的な答え

(1) $-1 - 2\sqrt{2}$

(2) $10 + 4\sqrt{6}$

(3) $5 - 2\sqrt{6}$

(4) $-1$

(5) $4$

(6) $11 + \sqrt{21}$