与えられた分数の分母を有理化し、簡略化します。問題は $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化し、簡略化します。問題は $\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役である $\sqrt{5}-1$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}+1} \times \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}$

分子を計算します。

$2\sqrt{3}(\sqrt{5}-1) = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}$

分母を計算します。これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形をしています。

$(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{4}$

分子と分母を 2 で割って簡略化します。

$\frac{2\sqrt{15} - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{2}$