一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがあり、点Sは辺BFを3:1に内分する。3点A, E, Gを通る平面に点Sから下ろした垂線と辺DHとの交点をTとする。3点A, S, Tを通る平面と辺FG, GHとの交点をそれぞれU, Vとする。このとき、線分UVの長さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがあり、点Sは辺BFを3:1に内分する。3点A, E, Gを通る平面に点Sから下ろした垂線と辺DHとの交点をTとする。3点A, S, Tを通る平面と辺FG, GHとの交点をそれぞれU, Vとする。このとき、線分UVの長さを求める。

2. 解き方の手順

まず点Tの位置を特定する。点Sから平面AEGに下ろした垂線の足は、正三角形AEGの中心である。点SからDHに下ろした垂線の足をTとすると、四角形SFTHは長方形である。

SはBFを3:1に内分するので、$BS = \frac{3}{4}$である。同様に、$DT = \frac{3}{4}$である。

次に、点U, Vの位置を特定する。平面ASTと辺FG, GHとの交点がそれぞれU, Vである。

座標を設定して考える。

A(0,0,1), B(1,0,1), C(1,1,1), D(0,1,1),

E(0,0,0), F(1,0,0), G(1,1,0), H(0,1,0)

S(1,0,1/4), T(0,1,1/4)

平面ASTの方程式を$ax+by+cz+d=0$とする。

A(0,0,1)を通るので、$c+d=0$

S(1,0,1/4)を通るので、$a+\frac{1}{4}c+d=0$

T(0,1,1/4)を通るので、$b+\frac{1}{4}c+d=0$

$c = -d$なので、

$a-\frac{1}{4}d+d=0 \Rightarrow a=-\frac{3}{4}d$

$b-\frac{1}{4}d+d=0 \Rightarrow b=-\frac{3}{4}d$

よって、$-\frac{3}{4}dx-\frac{3}{4}dy-dz+d=0$

$-3x-3y-4z+4=0$

$3x+3y+4z-4=0$

点UはFG上にあるので、U(1,y,0)とおける。

$3(1)+3y+4(0)-4=0 \Rightarrow 3+3y-4=0 \Rightarrow 3y=1 \Rightarrow y=\frac{1}{3}$

よって、$U(1, \frac{1}{3}, 0)$

点VはGH上にあるので、V(x,1,0)とおける。

$3x+3(1)+4(0)-4=0 \Rightarrow 3x+3-4=0 \Rightarrow 3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}$

よって、$V(\frac{1}{3}, 1, 0)$

$UV = \sqrt{(1-\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3}-1)^2+(0-0)^2} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2+(-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\frac{2 \sqrt{2}}{3}$