一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。点Sは辺BFを3:1に内分する点である。3点A, E, Gを通る平面に点Sから下ろした垂線と辺DHとの交点をTとする。3点A, S, Tを通る平面と辺FG, 辺GHとの交点をそれぞれU, Vとする。線分UVの長さと五角形ASUVTの面積を求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の立方体ABCD-EFGHがある。点Sは辺BFを3:1に内分する点である。3点A, E, Gを通る平面に点Sから下ろした垂線と辺DHとの交点をTとする。3点A, S, Tを通る平面と辺FG, 辺GHとの交点をそれぞれU, Vとする。線分UVの長さと五角形ASUVTの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分UVの長さを求める。

まず点UとVの位置を特定する。平面AEGと直線STは垂直なので、点Tは辺DHの中点となる。したがって、DT = TH = 1/2。

点Sは辺BFを3:1に内分するので、BF:FS = 4:3、つまりFS = 3/4。

次に、平面ASTと辺FG、GHの交点を求める。線分ASと線分ATを考える。点Uは線分AS上、点Vは線分AT上にある。

△BFUと△SFUを比較する。線分BFとFSの比は4:3、線分FGは1なので、FU = xとおくと、GU = 1-xとなる。

平面ASTと辺FGの交点Uについて考える。UはFG上にあるため、UはSとFを結ぶ線分上にある。平面ASTは点A, S, Tを通るので、線分AU, US, AT, TSは平面AST上にある。

△SFU∽△ABUであるから、FU/FS = BU/AB、FU/(3/4) = (1-x)/1。これは間違っている。

立体AEGCにおいて、AU+US=ASと、AV+VT=ATから考える。

線分UVの長さを求めるために、座標空間で考えるとわかりやすい。

B(0,0,0), F(1,0,0), G(1,1,0), H(0,1,0), A(0,0,1), E(1,0,1), D(0,1,1)とする。S(1,0,3/4), T(0,1,1/2)。

直線FGは$y=x+1$ で表せる。直線GHは$x+y=2$で表せる。

点U,Vはそれぞれ、FG, GH上にあるので、U(1, u, 0), V(v, 1, 0)と表せる。

平面ASTの方程式を求める。ASとATのベクトルを求めると、$\vec{AS}=(1,0,-1/4)$, $\vec{AT}=(0,1,-1/2)$。平面の法線ベクトルは$\vec{n} = \vec{AS} \times \vec{AT} = (1/4, 1/2, 1)$。

したがって平面ASTの方程式は、$1/4(x-0) + 1/2(y-0) + 1(z-1) = 0$。$x+2y+4z = 4$。

点U(1,u,0)がこの平面上にあるので、$1+2u=4$, $u=3/2$。これはありえない。

座標設定を見直す。A(0,0,0), B(1,0,0), F(1,1,0), G(0,1,0), D(0,0,1), H(0,1,1)とする。するとS(1, 3/4, 0), T(0, 1, 1/2)。

FG上の点U(x,y,0)は$x+y=1$。GH上の点V(x,y,0)は$y=1$。

平面ASTは、A(0,0,0), S(1,3/4,0), T(0,1,1/2)を通る。平面の方程式は$ax+by+cz = 0$で、平面ASTは$3x-4y+4z=0$。

FG上の点Uは$x+y=1$を満たすので、U(x, 1-x, 0)を平面の式に代入すると、$3x-4(1-x)=0$, $7x=4$, $x=4/7$。したがってU(4/7, 3/7, 0)。

GH上の点Vは$x=1$を満たすので、V(x,y,z)を平面の式に代入すると、$x+y = 1$を満たすので、$3x-4y+4z=0$, するとV(1,1,1/4)。

UVの長さは $\sqrt{(1-4/7)^2 + (1-3/7)^2+(1/4)^2} = \sqrt{(3/7)^2 + (4/7)^2 + (1/4)^2} = \sqrt{9/49 + 16/49 + 1/16} = \sqrt{25/49+1/16} = \sqrt{400/784 + 49/784} = \sqrt{449/784} = \frac{\sqrt{449}}{28}$.

平面AEGの式は$x-y+z=0$。Sから平面AEGへの垂線の足は不明。

(2) 五角形ASUVTの面積を求める。五角形は三角形ASTと三角形ASUと三角形ATVに分割できない。三角形ASTと三角形SUVに分割するのも難しい。

3. 最終的な答え

線分UVの長さは $\frac{\sqrt{449}}{28}$ である。

五角形ASUVTの面積は不明。

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37: 0

38: 449

39: 28

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40:

41:

42:

43:

44:

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最終的な答え：

線分UVの長さは $\frac{\sqrt{449}}{28}$ である。

五角形ASUVTの面積は求めることができませんでした。