三角柱ABC-DEFがあり、AD = 4, AB = 5, BC = 3, 角ABC = 90度である。辺AB上に点Pがあり、DP + PCが最小になるようにする。点Qは線分AEと線分DPの交点である。 (1) 線分APの長さを求める。 (2) AQ : QEの比を求める。 (3) 四角錐Q-ADFCの体積を求める。

1. 問題の内容

三角柱ABC-DEFがあり、AD = 4, AB = 5, BC = 3, 角ABC = 90度である。辺AB上に点Pがあり、DP + PCが最小になるようにする。点Qは線分AEと線分DPの交点である。

(1) 線分APの長さを求める。

(2) AQ : QEの比を求める。

(3) 四角錐Q-ADFCの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) DP + PCが最小になるためには、点D, P, C, を一直線上に並べればよい。具体的には、ABを延長した直線上に点C'をとり、BC=BC'となるようにとる。このとき、DP + PC = DP + PC'となる。D, P, C' が一直線上に並ぶ時、DP + PCは最小となる。△ADP ∽ △C'BP であるから、AP : BC' = AD : BC'なので、AP : BP = AD : BC = 4 : 3。AP + BP = AB = 5なので、AP = 5 * (4 / (4+3)) = 5 * (4/7) = 20/

7. $AP = \frac{20}{7}$

(2) △ADQ ∽ △EPQより、AQ : QE = AD : DE = AD : BC = 4 : 3

$AQ : QE = 4 : 3$

(3) 四角錐Q-ADFCの体積は、まず三角柱ABC-DEFの体積から、四角錐Q-ADFC以外の部分を引けば求められる。

三角柱ABC-DEFの体積は、底面積が1/2 * AB * BC = 1/2 * 5 * 3 = 15/2, 高さがAD = 4なので、

$V_{三角柱} = \frac{15}{2} * 4 = 30$

四角錐A-DEFの体積は、底面積が△DEF = 15/2、高さはAQの高さになる。AQ = 4/(4+3) AE = 4/7 AEとなるので、AQの高さも4/7になる。

点Qから面ADFCへの垂線をhとすると、h/DE = AQ/AE = 4/7 となるので、h = 4/7 * DE = 4/7 * 3 = 12/

7. 四角形ADFCの面積は、AD * DC = 4 * 3 = 12。したがって、四角錐Q-ADFCの体積は、

$V_{四角錐} = \frac{1}{3} * 12 * \frac{12}{7} = \frac{48}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 線分APの長さは、20/7

(2) AQ : QE = 4 : 3

(3) 四角錐Q-ADFCの体積は、48/7