一辺の長さが6cmの正四面体OABCがある。辺OAを2:1に内分する点をDとする。 問1：正四面体OABCの体積を求める。 問2：三角形BCDを底面としたとき、三角錐OBCDの高さを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6cmの正四面体OABCがある。辺OAを2:1に内分する点をDとする。

問1：正四面体OABCの体積を求める。

問2：三角形BCDを底面としたとき、三角錐OBCDの高さを求める。

2. 解き方の手順

問1：正四面体OABCの体積を求める。

正四面体の体積Vは、一辺の長さをaとすると、

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3$

で求められる。

本問では$a=6$なので、

$V = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 6^3 = \frac{\sqrt{2}}{12} \times 216 = 18\sqrt{2}$

問2：三角錐OBCDの高さを求める。

DはOAを2:1に内分する点なので、$OD=4, DA=2$である。

三角錐OBCDの体積は、正四面体OABCの体積の$\frac{2}{3}$倍なので、

$V_{OBCD} = \frac{2}{3} V = \frac{2}{3} \times 18\sqrt{2} = 12\sqrt{2}$

次に、三角形BCDの面積を求める。

$BC = CD = BD$であるから、三角形BCDは正三角形である。

$CD = \sqrt{OC^2 + OD^2 - 2 \times OC \times OD \times \cos \angle COD}$

正四面体の頂点Oから面ABCに下ろした垂線の足をHとすると、Hは三角形ABCの外心(重心)と一致する。

また、OAとBCは垂直である。また、OAの中点をMとすると、BM = CM = $3\sqrt{3}$

$\angle BOC = 60^\circ$

余弦定理より、

$CD^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \times 6 \times 4 \times \cos{60^\circ} = 36 + 16 - 48 \times \frac{1}{2} = 52 - 24 = 28$

$CD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

正三角形BCDの面積Sは、$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2\sqrt{7})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 28 = 7\sqrt{3}$

三角錐OBCDの体積は、$V_{OBCD} = \frac{1}{3} S h$ で求められるので、

$12\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 7\sqrt{3} \times h$

$h = \frac{36\sqrt{2}}{7\sqrt{3}} = \frac{36\sqrt{6}}{7 \times 3} = \frac{12\sqrt{6}}{7}$

3. 最終的な答え

問1：$18\sqrt{2}$

問2：$\frac{12\sqrt{6}}{7}$