ある学校で、夏休みに山に行った生徒は全体の $\frac{1}{4}$、海に行った生徒は全体の $\frac{2}{3}$、両方行かなかった生徒は全体の $\frac{1}{5}$ であり、海と山の両方に行った生徒は21人である。このとき、山に行った生徒は何人か。

1. 問題の内容

ある学校で、夏休みに山に行った生徒は全体の $\frac{1}{4}$、海に行った生徒は全体の $\frac{2}{3}$、両方行かなかった生徒は全体の $\frac{1}{5}$ であり、海と山の両方に行った生徒は21人である。このとき、山に行った生徒は何人か。

2. 解き方の手順

まず、全体を1としたとき、少なくとも山か海に行った生徒の割合を求める。

両方行かなかった生徒の割合は $\frac{1}{5}$ であるから、少なくとも山か海に行った生徒の割合は $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ となる。

次に、山に行った生徒と海に行った生徒の割合の合計から、山と海の両方に行った生徒の割合を引くと、少なくともどちらかに行った生徒の割合になる。

したがって、山と海の両方に行った生徒の割合を $x$ とすると、

$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} - x = \frac{4}{5}$

分母を60で通分すると、

$\frac{15}{60} + \frac{40}{60} - x = \frac{48}{60}$

$\frac{55}{60} - x = \frac{48}{60}$

$x = \frac{55}{60} - \frac{48}{60} = \frac{7}{60}$

海と山の両方に行った生徒の割合は $\frac{7}{60}$ であり、その人数は21人である。

したがって、全体の人数を $N$ とすると、

$\frac{7}{60} N = 21$

$N = 21 \times \frac{60}{7} = 3 \times 60 = 180$

全体の人数は180人である。

山に行った生徒の割合は $\frac{1}{4}$ であるから、山に行った生徒の人数は、

$\frac{1}{4} \times 180 = 45$

3. 最終的な答え

45人