与えられた2つの微分方程式を解く問題です。 一つ目は変数分離可能な微分方程式 $\frac{dx(t)}{dt} = 1 + x(t)^2$ を解く問題です。 二つ目は2階線形同次微分方程式 $\frac{d^2x(t)}{dt^2} - 6\frac{dx(t)}{dt} + 13x(t) = 0$ を解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの微分方程式を解く問題です。

一つ目は変数分離可能な微分方程式 $\frac{dx(t)}{dt} = 1 + x(t)^2$ を解く問題です。

二つ目は2階線形同次微分方程式 $\frac{d^2x(t)}{dt^2} - 6\frac{dx(t)}{dt} + 13x(t) = 0$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

**

1. 変数分離可能な微分方程式の解法**

微分方程式 $\frac{dx(t)}{dt} = 1 + x(t)^2$ を解きます。

まず、変数を分離します。

$\frac{dx}{1+x^2} = dt$

次に、両辺を積分します。

$\int \frac{dx}{1+x^2} = \int dt$

$\arctan(x) = t + C$ (Cは積分定数)

$x = \tan(t+C)$

**

2. 2階線形同次微分方程式の解法**

微分方程式 $\frac{d^2x(t)}{dt^2} - 6\frac{dx(t)}{dt} + 13x(t) = 0$ を解きます。

特性方程式を立てます。

$r^2 - 6r + 13 = 0$

特性方程式の解を求めます。

$r = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(13)}}{2(1)}$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2}$

$r = \frac{6 \pm \sqrt{-16}}{2}$

$r = \frac{6 \pm 4i}{2}$

$r = 3 \pm 2i$

特性方程式の解が複素数であるため、一般解は以下の形式になります。

$x(t) = e^{3t}(A\cos(2t) + B\sin(2t))$ (A, Bは任意定数)

3. 最終的な答え

1. 変数分離可能な微分方程式の解：

$x(t) = \tan(t+C)$

2. 2階線形同次微分方程式の解：

$x(t) = e^{3t}(A\cos(2t) + B\sin(2t))$