与えられた4つの対数の値をそれぞれ計算する問題です。 (1) $\log_4 8$ (2) $\log_8 16$ (3) $\log_{\frac{1}{2}} 8$ (4) $\log_9 \sqrt{3}$

1. 問題の内容

与えられた4つの対数の値をそれぞれ計算する問題です。

(1) $\log_4 8$

(2) $\log_8 16$

(3) $\log_{\frac{1}{2}} 8$

(4) $\log_9 \sqrt{3}$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 8$:

$4 = 2^2$ かつ $8 = 2^3$ であるので、$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$ となります。

(2) $\log_8 16$:

$8 = 2^3$ かつ $16 = 2^4$ であるので、$\log_8 16 = \log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$ となります。

(3) $\log_{\frac{1}{2}} 8$:

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$ かつ $8 = 2^3$ であるので、$\log_{\frac{1}{2}} 8 = \log_{2^{-1}} 2^3 = \frac{3}{-1} \log_2 2 = -3 \cdot 1 = -3$ となります。

(4) $\log_9 \sqrt{3}$:

$9 = 3^2$ かつ $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ であるので、$\log_9 \sqrt{3} = \log_{3^2} 3^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{2} \log_3 3 = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{4}{3}$

(3) $-3$

(4) $\frac{1}{4}$