加法定理を使って、$sin3\theta$を$sin\theta$だけで表す。

1. 問題の内容

加法定理を使って、$sin3\theta$を$sin\theta$だけで表す。

2. 解き方の手順

まず、$sin3\theta$を$sin(2\theta + \theta)$と変形し、加法定理を適用します。

$sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB$を使うと、

$sin3\theta = sin(2\theta + \theta) = sin2\theta cos\theta + cos2\theta sin\theta$

次に、$sin2\theta$と$cos2\theta$をそれぞれ倍角の公式で展開します。

$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$

$cos2\theta = 1 - 2sin^2\theta$

これらを上記の式に代入すると、

$sin3\theta = (2sin\theta cos\theta)cos\theta + (1 - 2sin^2\theta)sin\theta$

$sin3\theta = 2sin\theta cos^2\theta + sin\theta - 2sin^3\theta$

次に、$cos^2\theta$を$sin^2\theta$で表します。

$cos^2\theta = 1 - sin^2\theta$

これを上記の式に代入すると、

$sin3\theta = 2sin\theta(1 - sin^2\theta) + sin\theta - 2sin^3\theta$

$sin3\theta = 2sin\theta - 2sin^3\theta + sin\theta - 2sin^3\theta$

$sin3\theta = 3sin\theta - 4sin^3\theta$

3. 最終的な答え

$sin3\theta = 3sin\theta - 4sin^3\theta$