$3^{20}$ の桁数を求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$3^{20}$ の桁数を求める問題です。ただし、$\log_{10}3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$3^{20}$ の桁数を求めるために、常用対数 $\log_{10}3^{20}$ を計算します。

常用対数の性質より、$\log_{10}3^{20} = 20 \log_{10}3$ となります。

問題文より $\log_{10}3 = 0.4771$ であるので、

$\log_{10}3^{20} = 20 \times 0.4771 = 9.542$ となります。

$3^{20}$ の桁数を $n$ とすると、$10^{n-1} \le 3^{20} < 10^{n}$ が成り立ちます。

この不等式の各辺の常用対数をとると、

$\log_{10}10^{n-1} \le \log_{10}3^{20} < \log_{10}10^{n}$

$n-1 \le 9.542 < n$

となります。

したがって、$n$ は $9.542$ より大きい最小の整数であるので、$n=10$ となります。

3. 最終的な答え

10桁