焦点が $(0, 4)$ と $(0, -4)$ であり、焦点からの距離の差が $6$ である双曲線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

焦点が $(0, 4)$ と $(0, -4)$ であり、焦点からの距離の差が $6$ である双曲線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

双曲線の方程式は、2つの焦点からの距離の差が一定である点の軌跡として定義されます。

焦点が $(0, c)$ と $(0, -c)$ である場合、双曲線の方程式は一般に

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

の形を取ります。

ここで、$2a$ が焦点からの距離の差に等しく、$c^2 = a^2 + b^2$ の関係が成り立ちます。

問題より、焦点は $(0, 4)$ と $(0, -4)$ なので、$c = 4$ です。

また、焦点からの距離の差は $6$ なので、$2a = 6$ 、つまり $a = 3$ です。

$c^2 = a^2 + b^2$ より、

$4^2 = 3^2 + b^2$

$16 = 9 + b^2$

$b^2 = 16 - 9 = 7$

したがって、$b = \sqrt{7}$ です。

双曲線の方程式は

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

なので、

$\frac{y^2}{3^2} - \frac{x^2}{7} = 1$

$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{7} = 1$