長さが5の線分ABがあり、点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動きます。このとき、線分ABを2:3に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

長さが5の線分ABがあり、点Aはx軸上を、点Bはy軸上を動きます。このとき、線分ABを2:3に内分する点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Aの座標を$(a, 0)$、点Bの座標を$(0, b)$とします。線分ABの長さが5なので、

$a^2 + b^2 = 5^2 = 25$

が成り立ちます。

点Pの座標を$(x, y)$とすると、点Pは線分ABを2:3に内分するので、内分点の公式より

$x = \frac{3a + 2(0)}{2+3} = \frac{3a}{5}$

$y = \frac{3(0) + 2b}{2+3} = \frac{2b}{5}$

となります。

これらの式から$a$と$b$を$x$と$y$で表すと、

$a = \frac{5x}{3}$

$b = \frac{5y}{2}$

となります。

これを$a^2 + b^2 = 25$に代入すると、

$(\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5y}{2})^2 = 25$

$\frac{25x^2}{9} + \frac{25y^2}{4} = 25$

両辺を25で割ると、

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$