次の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{2x}}{x^2}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{2x}}{x^2}$

2. 解き方の手順

まず、$\cos{2x}$ の倍角の公式を使用します。

$\cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x}$

したがって、

$1 - \cos{2x} = 1 - (1 - 2\sin^2{x}) = 2\sin^2{x}$

よって、極限は

$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2{x}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1$ を使用します。

$2 \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2 = 2 \cdot 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

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