与えられた極限を計算します。 $\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、変数を置き換えます。$x = \frac{1}{n}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $x \to 0$ となります。したがって、与えられた極限は次のように書き換えられます。

$\lim_{n \to \infty} n \sin \frac{\pi}{n} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \sin (\pi x) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin (\pi x)}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ という極限の公式を利用します。$\pi x$ を $ax$ と見なすと、$a = \pi$ です。したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin (\pi x)}{x} = \pi$

別の解き方として、ロピタルの定理を使うこともできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x}$ の形は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\pi x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}\sin(\pi x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x \to 0} \frac{\pi \cos(\pi x)}{1} = \pi \cos(0) = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$