与えられた極限値を計算します。問題は、$\lim_{x \to 1} \frac{\log_e x}{x-1}$ です。

1. 問題の内容

与えられた極限値を計算します。問題は、$\lim_{x \to 1} \frac{\log_e x}{x-1}$ です。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ なので、ロピタルの定理を使うことができます。ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ となる、という定理です。

$f(x) = \log_e x$ と $g(x) = x - 1$ とおくと、$f'(x) = \frac{1}{x}$ および $g'(x) = 1$ となります。したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{\log_e x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

$x$ を $1$ に近づけると、$\frac{1}{x}$ は $1$ に近づきます。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{\log_e x}{x-1} = 1$