与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$ を計算することです。ここで、$\log x$ は自然対数を表します。

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$ を計算することです。ここで、$\log x$ は自然対数を表します。

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{0}{0}$ の形をしているので、ロピタルの定理を適用できます。ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つという定理です。

まず、$f(x) = \log x$ と $g(x) = x-1$ とおきます。

それぞれの微分を計算します。

$f'(x) = \frac{1}{x}$

$g'(x) = 1$

したがって、ロピタルの定理を適用すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

$x$ を 1 に近づけると、$\frac{1}{x}$ は 1 に近づきます。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1} = 1$