与えられた級数 $\sum_{n=1}^{6} \frac{1}{4n^2 - 1}$ の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{6} \frac{1}{4n^2 - 1}$ の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{4n^2 - 1}$ を部分分数分解します。

$4n^2 - 1 = (2n-1)(2n+1)$ なので、

$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{A}{2n-1} + \frac{B}{2n+1}$

とおきます。両辺に $(2n-1)(2n+1)$ を掛けると、

$1 = A(2n+1) + B(2n-1)$

となります。

$n = \frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(2) \implies A = \frac{1}{2}$

$n = -\frac{1}{2}$ のとき、$1 = B(-2) \implies B = -\frac{1}{2}$

したがって、

$\frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$

となります。

次に、$\sum_{n=1}^{6} \frac{1}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{6} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right)$ を計算します。

$\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{6} \left( \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) + \left( \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{13} \right)$

$= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{13} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{13-1}{13} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{12}{13} = \frac{6}{13}$

3. 最終的な答え

$\frac{6}{13}$