次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。 $$ \begin{cases} 7x - 5 > 13 - 2x \\ x + a \geq 3x + 5 \end{cases} $$

1. 問題の内容

次の連立不等式を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するとき、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

$$$$

\begin{cases}

7x - 5 > 13 - 2x \\

x + a \geq 3x + 5

\end{cases}

$$$$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

一つ目の不等式:

$7x - 5 > 13 - 2x$

$9x > 18$

$x > 2$

二つ目の不等式:

$x + a \geq 3x + 5$

$a - 5 \geq 2x$

$x \leq \frac{a - 5}{2}$

よって、連立不等式は

$2 < x \leq \frac{a - 5}{2}$

となります。

この範囲に整数 $x$ がちょうど5個存在するためには、$x = 3, 4, 5, 6, 7$ が含まれ、かつ $x=8$ は含まれてはいけません。

したがって、$7 \leq \frac{a - 5}{2} < 8$ でなければなりません。

$7 \leq \frac{a - 5}{2}$ より、

$14 \leq a - 5$

$19 \leq a$

$\frac{a - 5}{2} < 8$ より、

$a - 5 < 16$

$a < 21$

したがって、求める $a$ の範囲は $19 \leq a < 21$ となります。

3. 最終的な答え

$19 \leq a < 21$