与えられた等比数列に関する以下の3つの問題を解きます。 (1) 初項3, 公比4, 項数nの等比数列の和を求める。 (2) 等比数列 1, a, a², ... の初項から第n項までの和を求める。 (3) 等比数列 27, 9, 3, ... の第6項から第10項までの和を求める。

1. 問題の内容

与えられた等比数列に関する以下の3つの問題を解きます。

(1) 初項3, 公比4, 項数nの等比数列の和を求める。

(2) 等比数列 1, a, a², ... の初項から第n項までの和を求める。

(3) 等比数列 27, 9, 3, ... の第6項から第10項までの和を求める。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の和の公式 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ を使います。ここで、$a$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

与えられた条件 $a = 3$, $r = 4$, 項数 $n$ を代入すると、求める和は $S_n = \frac{3(4^n - 1)}{4 - 1} = \frac{3(4^n - 1)}{3} = 4^n - 1$ となります。

(2) 初項は1、公比は $a$ なので、初項から第n項までの和は、等比数列の和の公式を用いて、$S_n = \frac{1(a^n - 1)}{a - 1} = \frac{a^n - 1}{a - 1}$ となります。ただし、$a \neq 1$。

$a=1$のとき、$1, 1, 1, ...$となり、初項から第n項までの和は$n$となります。

(3) まず、この等比数列の初項と公比を求めます。初項は27です。公比は $\frac{9}{27} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ です。

第n項は $27 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1}$ で表されます。

第6項は $27 \cdot (\frac{1}{3})^{6-1} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^5 = 27 \cdot \frac{1}{243} = \frac{1}{9}$

第10項は $27 \cdot (\frac{1}{3})^{10-1} = 27 \cdot (\frac{1}{3})^9 = 27 \cdot \frac{1}{19683} = \frac{1}{729}$

第6項から第10項までの和は、第1項から第10項までの和から第1項から第5項までの和を引くことで計算できます。

しかし、ここでは第6項から第10項までの和を直接計算します。

第6項から第10項までの和は、初項を $\frac{1}{9}$, 公比を $\frac{1}{3}$, 項数を5とした等比数列の和として計算できます。

$S = \frac{\frac{1}{9}((\frac{1}{3})^5 - 1)}{\frac{1}{3} - 1} = \frac{\frac{1}{9}(\frac{1}{243} - 1)}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{9}(\frac{1 - 243}{243})}{-\frac{2}{3}} = \frac{\frac{1}{9}(\frac{-242}{243})}{-\frac{2}{3}} = \frac{-242}{9 \cdot 243} \cdot \frac{-3}{2} = \frac{242 \cdot 3}{9 \cdot 243 \cdot 2} = \frac{121}{3 \cdot 243} = \frac{121}{729}$

3. 最終的な答え

(1) $4^n - 1$

(2) $\frac{a^n - 1}{a - 1}$ ($a \neq 1$のとき)。$a=1$のとき、$n$

(3) $\frac{121}{729}$