与えられた数列の初項から第n項までの和 $S$ を求める問題です。数列は2つあります。 (1) $1 \cdot 1, 2 \cdot 4, 3 \cdot 7, 4 \cdot 10, \dots$ (2) $2, 2+6, 2+6+18, 2+6+18+54, \dots$

1. 問題の内容

与えられた数列の初項から第n項までの和 $S$ を求める問題です。数列は2つあります。

(1) $1 \cdot 1, 2 \cdot 4, 3 \cdot 7, 4 \cdot 10, \dots$

(2) $2, 2+6, 2+6+18, 2+6+18+54, \dots$

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1 \cdot 1, 2 \cdot 4, 3 \cdot 7, 4 \cdot 10, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = n (3n - 2) = 3n^2 - 2n$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 2k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 2\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$S_n = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - n(n+1) = \frac{n(n+1)(2n+1-2)}{2} = \frac{n(n+1)(2n-1)}{2}$

(2) 数列 $2, 2+6, 2+6+18, 2+6+18+54, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

$a_n = \sum_{k=0}^{n-1} 2 \cdot 3^k = 2 \sum_{k=0}^{n-1} 3^k = 2 \cdot \frac{1-3^n}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-3^n}{-2} = 3^n - 1$

$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} (3^k - 1) = \sum_{k=1}^{n} 3^k - \sum_{k=1}^{n} 1 = \sum_{k=1}^{n} 3^k - n$

$\sum_{k=1}^{n} 3^k = \frac{3(1-3^n)}{1-3} = \frac{3(1-3^n)}{-2} = \frac{3(3^n-1)}{2}$

$S_n = \frac{3(3^n-1)}{2} - n = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $S_n = \frac{n(n+1)(2n-1)}{2}$

(2) $S_n = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{2}$