毎年度初めに$a$円ずつ積み立て、年利率を$r$、1年ごとの複利で計算するとき、$n$年度末の元利合計を求めよ。

1. 問題の内容

毎年度初めに$a$円ずつ積み立て、年利率を$r$、1年ごとの複利で計算するとき、$n$年度末の元利合計を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、各年度末の元利合計を計算します。

1年度末：$a(1+r)$

2年度末：$(a(1+r) + a)(1+r) = a(1+r)^2 + a(1+r)$

3年度末：$(a(1+r)^2 + a(1+r) + a)(1+r) = a(1+r)^3 + a(1+r)^2 + a(1+r)$

これを一般化すると、$n$年度末の元利合計は

$a(1+r)^n + a(1+r)^{n-1} + \dots + a(1+r)$

となります。

これは初項$a(1+r)$、公比$(1+r)$、項数$n$の等比数列の和なので、

$$S_n = \frac{a(1+r)\left((1+r)^n - 1\right)}{(1+r) - 1} = \frac{a(1+r)\left((1+r)^n - 1\right)}{r}$$

となります。

3. 最終的な答え

$n$年度末の元利合計は $\frac{a(1+r)\left((1+r)^n - 1\right)}{r}$ 円です。