与えられた条件から等比数列の初項、項数、または初項と公比を求める問題です。 (1) 公比が-3で、初項から第6項までの和が728である等比数列の初項を求める。 (2) 初項が2、公比が3で、和が242である等比数列の項数を求める。 (3) 初項$a$、公比$r$が実数で、$S_3 = 3$, $S_6 = 27$のとき、$a$と$r$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた条件から等比数列の初項、項数、または初項と公比を求める問題です。

(1) 公比が-3で、初項から第6項までの和が728である等比数列の初項を求める。

(2) 初項が2、公比が3で、和が242である等比数列の項数を求める。

(3) 初項$a$、公比$r$が実数で、$S_3 = 3$, $S_6 = 27$のとき、$a$と$r$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 初項を$a$とすると、初項から第6項までの和は

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r}$

$S_6 = \frac{a(1-(-3)^6)}{1-(-3)} = \frac{a(1-729)}{4} = \frac{-728a}{4} = -182a$

$S_6 = 728$なので

$-182a = 728$

$a = -4$

(2) 項数を$n$とすると、初項から第$n$項までの和は

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$

$S_n = \frac{2(3^n - 1)}{3-1} = \frac{2(3^n - 1)}{2} = 3^n - 1$

$S_n = 242$なので

$3^n - 1 = 242$

$3^n = 243$

$3^n = 3^5$

$n = 5$

(3) 等比数列の和の公式より、

$S_3 = \frac{a(1-r^3)}{1-r} = 3$

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 27$

ここで、$S_6 = \frac{a(1-r^3)(1+r^3)}{1-r} = S_3 (1+r^3)$

$S_6 = 27$なので

$27 = 3(1+r^3)$

$9 = 1+r^3$

$r^3 = 8$

$r = 2$ (実数なので)

$S_3 = \frac{a(1-2^3)}{1-2} = \frac{a(1-8)}{-1} = \frac{-7a}{-1} = 7a = 3$

$a = \frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(1) 初項: $-4$

(2) 項数: $5$

(3) $a = \frac{3}{7}$, $r = 2$