数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。 (1) 8, 15, 24, 35, 48, ... (2) 5, 7, 11, 19, 35, ...

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を、階差数列を利用して求める問題です。

(1) 8, 15, 24, 35, 48, ...

(2) 5, 7, 11, 19, 35, ...

2. 解き方の手順

(1) 数列 8, 15, 24, 35, 48, ... の階差数列を求めます。

15-8 = 7

24-15 = 9

35-24 = 11

48-35 = 13

階差数列は 7, 9, 11, 13, ... となり、これは初項 7, 公差 2 の等差数列です。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_n = 7 + (n-1)2 = 2n + 5$ となります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、 $n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 8 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k+5) = 8 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 5 = 8 + 2 \cdot \frac{1}{2}(n-1)n + 5(n-1) = 8 + (n-1)n + 5(n-1) = 8 + n^2 - n + 5n - 5 = n^2 + 4n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 + 4(1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$ となり、$a_1$ の値と一致します。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = n^2 + 4n + 3$ です。

(2) 数列 5, 7, 11, 19, 35, ... の階差数列を求めます。

7-5 = 2

11-7 = 4

19-11 = 8

35-19 = 16

階差数列は 2, 4, 8, 16, ... となり、これは初項 2, 公比 2 の等比数列です。

階差数列の一般項を $b_n$ とすると、$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$ となります。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は、$n \geq 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 5 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 5 + \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 5 + 2(2^{n-1}-1) = 5 + 2^n - 2 = 2^n + 3$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 + 3 = 2 + 3 = 5$ となり、$a_1$ の値と一致します。

したがって、数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 2^n + 3$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = n^2 + 4n + 3$

(2) $a_n = 2^n + 3$