半径 $r$ の球形の容器に、単位時間あたり $a$ の割合で体積が増えるように水を入れる。 (1) 水の深さが $h$ ($0 < h < r$) に達したときの水の体積 $V$ と水面の面積 $S$ をそれぞれ求める。 (2) 水の深さが $\frac{r}{2}$ になったときの水面の上昇する速度 $v_1$ と水面の面積の増加する速度 $v_2$ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

半径 $r$ の球形の容器に、単位時間あたり $a$ の割合で体積が増えるように水を入れる。

(1) 水の深さが $h$ ($0 < h < r$) に達したときの水の体積 $V$ と水面の面積 $S$ をそれぞれ求める。

(2) 水の深さが $\frac{r}{2}$ になったときの水面の上昇する速度 $v_1$ と水面の面積の増加する速度 $v_2$ をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 水の体積 $V$ は、底面の半径 $x$ 、高さ $dh$ の円柱の体積 $\pi x^2 dh$ を積分することで求まる。

$x^2 + (r-h)^2 = r^2$ より、$x^2 = r^2 - (r-h)^2 = r^2 - (r^2 - 2rh + h^2) = 2rh - h^2$。

したがって、$V = \int_0^h \pi x^2 dh = \int_0^h \pi (2rh - h^2) dh = \pi [rh^2 - \frac{1}{3}h^3]_0^h = \pi (rh^2 - \frac{1}{3}h^3)$。

$V = \pi h^2 (r - \frac{h}{3})$

水面の面積 $S$ は、底面の半径 $x$ の円の面積なので、$S = \pi x^2 = \pi (2rh - h^2)$。

$S = \pi (2rh - h^2)$

(2) $\frac{dV}{dt} = a$ であり、$V = \pi h^2 (r - \frac{h}{3})$ であるから、両辺を $t$ で微分すると、

$\frac{dV}{dt} = \pi (2hr\frac{dh}{dt} - h^2 \frac{dh}{dt} + h^2\frac{dh}{dt} - \frac{1}{3}3h^2\frac{dh}{dt}) = \pi(2rh - h^2) \frac{dh}{dt}$

$a = \pi (2rh - h^2) \frac{dh}{dt}$

よって、$\frac{dh}{dt} = \frac{a}{\pi (2rh - h^2)}$

$h = \frac{r}{2}$ のとき、$\frac{dh}{dt} = \frac{a}{\pi (2r\frac{r}{2} - (\frac{r}{2})^2)} = \frac{a}{\pi (r^2 - \frac{r^2}{4})} = \frac{a}{\pi \frac{3r^2}{4}} = \frac{4a}{3\pi r^2}$

したがって、$v_1 = \frac{4a}{3\pi r^2}$。

$S = \pi (2rh - h^2)$ より、$\frac{dS}{dt} = \pi (2r\frac{dh}{dt} - 2h\frac{dh}{dt}) = 2\pi (r-h) \frac{dh}{dt}$

$h = \frac{r}{2}$ のとき、$\frac{dS}{dt} = 2\pi (r - \frac{r}{2}) \frac{dh}{dt} = 2\pi (\frac{r}{2}) \frac{dh}{dt} = \pi r \frac{dh}{dt} = \pi r (\frac{4a}{3\pi r^2}) = \frac{4a}{3r}$

したがって、$v_2 = \frac{4a}{3r}$。

3. 最終的な答え

(1) $V = \pi h^2 (r - \frac{h}{3})$、 $S = \pi (2rh - h^2)$

(2) $v_1 = \frac{4a}{3\pi r^2}$、 $v_2 = \frac{4a}{3r}$