与えられた二次関数 $y = -2x^2 + x$ において、$x \geq -1$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = -2x^2 + x$ において、$x \geq -1$ の範囲における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x)$

$y = -2(x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2)$

$y = -2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16})$

$y = -2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{1}{8}$

これにより、頂点の座標が$(\frac{1}{4}, \frac{1}{8})$であることがわかります。

この二次関数は上に凸の放物線であり、$x = \frac{1}{4}$ で最大値 $\frac{1}{8}$ をとります。

次に、$x \geq -1$ の範囲における最大値と最小値を考えます。

頂点の$x$座標$\frac{1}{4}$は範囲に含まれているので、$x = \frac{1}{4}$で最大値$\frac{1}{8}$をとります。

$x = -1$のとき、$y = -2(-1)^2 + (-1) = -2 - 1 = -3$

$x \to \infty$のとき、$y \to -\infty$。

$x \geq -1$の範囲では$x=-1$で最小値をとります。

3. 最終的な答え

最大値：$\frac{1}{8}$ ($x=\frac{1}{4}$のとき)

最小値：$-3$ ($x=-1$のとき)