整数 $a, b$ があり、$a$ を 4 で割ると 3 余り、$b$ を 8 で割ると 5 余る。このとき、$a+b$ を 4 で割った余り、$2a-3b$ を 4 で割った余り、$a^2-b^2$ を 4 で割った余りをそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

整数 $a, b$ があり、$a$ を 4 で割ると 3 余り、$b$ を 8 で割ると 5 余る。このとき、$a+b$ を 4 で割った余り、$2a-3b$ を 4 で割った余り、$a^2-b^2$ を 4 で割った余りをそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

$a$ を 4 で割ると 3 余り、$b$ を 8 で割ると 5 余ることから、整数 $k, l$ を用いて

$a = 4k + 3$

$b = 8l + 5$

と表せる。

(1) $a+b$ を 4 で割った余りを求める。

$a + b = (4k + 3) + (8l + 5) = 4k + 8l + 8 = 4(k + 2l + 2)$

よって、$a+b$ は 4 で割り切れるので、余りは 0 である。

(2) $2a-3b$ を 4 で割った余りを求める。

$2a - 3b = 2(4k + 3) - 3(8l + 5) = 8k + 6 - 24l - 15 = 8k - 24l - 9 = 4(2k - 6l - 3) + 3$

よって、$2a-3b$ を 4 で割った余りは 3 である。

(3) $a^2 - b^2$ を 4 で割った余りを求める。

$a^2 = (4k + 3)^2 = 16k^2 + 24k + 9 = 4(4k^2 + 6k + 2) + 1$

$b^2 = (8l + 5)^2 = 64l^2 + 80l + 25 = 4(16l^2 + 20l + 6) + 1$

$a^2 - b^2 = (16k^2 + 24k + 9) - (64l^2 + 80l + 25) = 16k^2 + 24k - 64l^2 - 80l - 16 = 4(4k^2 + 6k - 16l^2 - 20l - 4)$

よって、$a^2 - b^2$ は 4 で割り切れるので、余りは 0 である。

3. 最終的な答え

ア：0

イ：3

ウ：0