8人を2つの組に分ける方法が何通りあるか求める問題です。

1. 問題の内容

8人を2つの組に分ける方法が何通りあるか求める問題です。

2. 解き方の手順

8人を2つの組に分ける場合の数を考えます。ただし、組の人数が指定されていないため、場合分けが必要です。

組の人数を $n$ 人と $8-n$ 人とします。$n$ は $1$ から $7$ までの整数を取り得ます。

$n=1$ のとき：8人から1人を選ぶ方法は $\binom{8}{1}$ 通りです。残りの7人はもう一方の組に入ります。

$n=2$ のとき：8人から2人を選ぶ方法は $\binom{8}{2}$ 通りです。残りの6人はもう一方の組に入ります。

$n=3$ のとき：8人から3人を選ぶ方法は $\binom{8}{3}$ 通りです。残りの5人はもう一方の組に入ります。

$n=4$ のとき：8人から4人を選ぶ方法は $\binom{8}{4}$ 通りです。残りの4人はもう一方の組に入ります。

ただし、組を区別しない場合、例えば、$n=1$ の場合、$1人と7人の組分けと、7人と1人の組分けは同じ組分けと考える必要があります。したがって、

$n=1$と$n=7$、

$n=2$と$n=6$、

$n=3$と$n=5$

は同じ組分けになります。$n=4$の場合は、4人と4人の組なので、2で割る必要があります。

$\binom{8}{1} = 8$

$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

$\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$

$\binom{8}{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

求める場合の数は、

$\binom{8}{1} + \binom{8}{2} + \binom{8}{3} + \frac{1}{2}\binom{8}{4}$

$= 8 + 28 + 56 + \frac{1}{2} \times 70$

$= 8 + 28 + 56 + 35$

$= 127$

3. 最終的な答え

127通り