以下の2つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)}$

1. 問題の内容

以下の2つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$ の解き方:

$1 - \cos(3x)$ に $1 + \cos(3x)$ を掛けて、分母にも同じものを掛けることで、$1 - \cos^2(3x) = \sin^2(3x)$ を作ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos(3x))(1 + \cos(3x))}{x^2(1 + \cos(3x))} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3x)}{x^2(1 + \cos(3x))}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3x)}{x^2(1 + \cos(3x))} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot \frac{9x^2}{x^2} \cdot \frac{1}{1 + \cos(3x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin(3x)}{3x} \right)^2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{1 + \cos(3x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos(3x) = 1$ であるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = 1^2 \cdot 9 \cdot \frac{1}{1 + 1} = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)}$ の解き方:

$1 - \cos(x)$ に $1 + \cos(x)$ を掛けて、分母にも同じものを掛けることで、$1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$ を作ります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)(1 + \cos(x))}{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x))} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)(1 + \cos(x))}{\sin^2(x)}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)(1 + \cos(x))}{\sin^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\sin^2(x)} \cdot (1 + \cos(x))$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{x^2} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} = 1$ であり、$\lim_{x \to 0} \cos(x) = 1$ であるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x^2)}{1 - \cos(x)} = 1 \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(x)} \right)^2 \cdot (1 + 1) = 1 \cdot 1^2 \cdot 2 = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{9}{2}$

(2) $2$