$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を2回使うか、三角関数の公式と極限の公式を利用して解くことができます。ここでは後者の方法で解きます。

まず、恒等式 $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ を用いると、

$1 - \cos(3x) = 2\sin^2(\frac{3x}{2})$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(\frac{3x}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{3x}{2})}{x^2}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ という公式を使うために、$\frac{3x}{2}$を作り出すことを考えます。

$2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(\frac{3x}{2})}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{x} \cdot \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{x}$

$= 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin(\frac{3x}{2})}{\frac{3x}{2}} \cdot \frac{3}{2}$

$= 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} \cdot 1 \cdot \frac{3}{2}$

$= 2 \cdot \frac{9}{4} = \frac{9}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{2}$