与えられた範囲 $-2 \le x \le 2$ において、次の4つの関数の最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x + 2$ (2) $y = -x^2 + x + 1$ (3) $y = 1 - 6x - x^2$ (4) $y = 2x^2 + 9x$

1. 問題の内容

与えられた範囲 $-2 \le x \le 2$ において、次の4つの関数の最大値と最小値を求め、それぞれの $x$ の値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$

(2) $y = -x^2 + x + 1$

(3) $y = 1 - 6x - x^2$

(4) $y = 2x^2 + 9x$

2. 解き方の手順

各関数について、平方完成を行い、頂点の座標を求めます。そして、与えられた範囲 $-2 \le x \le 2$ での最大値と最小値を求めます。

(1) $y = x^2 - 2x + 2$

平方完成すると、

$y = (x - 1)^2 + 1$

頂点は $(1, 1)$。$x = 1$ は範囲内にあるので、最小値は $y = 1$ ($x=1$のとき)。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$

$x = 2$ のとき、$y = (2)^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

最大値は $y = 10$ ($x = -2$のとき)。

(2) $y = -x^2 + x + 1$

平方完成すると、

$y = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

頂点は $(\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$。$x = \frac{1}{2}$ は範囲内にあるので、最大値は $y = \frac{5}{4}$ ($x=\frac{1}{2}$のとき)。

$x = -2$ のとき、$y = -(-2)^2 + (-2) + 1 = -4 - 2 + 1 = -5$

$x = 2$ のとき、$y = -(2)^2 + 2 + 1 = -4 + 2 + 1 = -1$

最小値は $y = -5$ ($x = -2$のとき)。

(3) $y = 1 - 6x - x^2$

平方完成すると、

$y = -(x + 3)^2 + 10$

頂点は $(-3, 10)$。$x = -3$ は範囲外にある。

$x = -2$ のとき、$y = 1 - 6(-2) - (-2)^2 = 1 + 12 - 4 = 9$

$x = 2$ のとき、$y = 1 - 6(2) - (2)^2 = 1 - 12 - 4 = -15$

最大値は $y = 9$ ($x = -2$のとき)。

最小値は $y = -15$ ($x = 2$のとき)。

(4) $y = 2x^2 + 9x$

平方完成すると、

$y = 2(x + \frac{9}{4})^2 - \frac{81}{8}$

頂点は $(-\frac{9}{4}, -\frac{81}{8})$。$x = -\frac{9}{4} = -2.25$ は範囲外にある。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2)^2 + 9(-2) = 8 - 18 = -10$

$x = 2$ のとき、$y = 2(2)^2 + 9(2) = 8 + 18 = 26$

最大値は $y = 26$ ($x = 2$のとき)。

最小値は $y = -10$ ($x = -2$のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $10$ ($x=-2$のとき), 最小値: $1$ ($x=1$のとき)

(2) 最大値: $\frac{5}{4}$ ($x=\frac{1}{2}$のとき), 最小値: $-5$ ($x=-2$のとき)

(3) 最大値: $9$ ($x=-2$のとき), 最小値: $-15$ ($x=2$のとき)

(4) 最大値: $26$ ($x=2$のとき), 最小値: $-10$ ($x=-2$のとき)